4.2 Integracion numerica

 

La integración numérica es una técnica utilizada en análisis numérico para aproximar el valor de una integral definida cuando no es posible calcularla de forma analítica o cuando los métodos tradicionales son computacionalmente costosos. La idea básica de la integración numérica es aproximar el área bajo una curva mediante la suma de áreas de regiones más pequeñas.

 

Existen varios métodos comunes de integración numérica, entre ellos:

 

1. Regla del punto medio: Este método divide el intervalo de integración en subintervalos de igual tamaño y aproxima el valor de la integral utilizando el valor de la función en el punto medio de cada subintervalo. La fórmula básica para la regla del punto medio es:

 

   ∫[a,b] f(x) dx ≈ h * Σ f((a + b)/2 + i * h)

 

   donde h es la longitud de cada subintervalo y Σ representa la suma de los valores de la función evaluados en los puntos medios de los subintervalos.

 

2. Regla del trapecio: Este método aproxima el área bajo la curva utilizando trapezoides para cada subintervalo. La fórmula básica para la regla del trapecio es:

 

   ∫[a,b] f(x) dx ≈ h/2 * [f(a) + 2 * Σ f(a + i * h) + f(b)]

 

   donde h es la longitud de cada subintervalo, f(a) y f(b) son los valores de la función en los extremos del intervalo, y Σ representa la suma de los valores de la función evaluados en los puntos interiores del intervalo.

 

3. Regla de Simpson: Este método utiliza polinomios de segundo grado (parábolas) para aproximar la función en cada subintervalo. La fórmula básica para la regla de Simpson es:

 

   ∫[a,b] f(x) dx ≈ h/3 * [f(a) + 4 * Σ f(a + i * h) + 2 * Σ f(a + (2i+1) * h) + f(b)]

 

   donde h es la longitud de cada subintervalo, f(a) y f(b) son los valores de la función en los extremos del intervalo, Σ representa la suma de los valores de la función evaluados en los puntos interiores pares del intervalo, y la segunda Σ representa la suma de los valores de la función evaluados en los puntos interiores impares del intervalo.

 

Estos son solo algunos ejemplos de métodos de integración numérica. Existen otros métodos más avanzados, como la regla de Simpson 3/8, la regla de Gauss-Legendre, el método de Romberg, entre otros. La elección del método dependerá de la precisión requerida, la suavidad de la función y otras consideraciones específicas del problema.

 

Es importante tener en cuenta que la integración numérica también introduce errores debido a las aproximaciones realizadas. Estos errores pueden reducirse al utilizar un número mayor de subintervalos o al utilizar métodos más precisos, pero esto puede aumentar el costo computacional.