3.3 Iteracion y convergencia de sistemas de ecuaciones

 

La iteración y convergencia de sistemas de ecuaciones se refieren a cómo se utilizan los métodos numéricos para encontrar soluciones aproximadas de sistemas de ecuaciones no lineales. La idea principal detrás de estos métodos es tomar una estimación inicial de la solución y repetir un conjunto de cálculos iterativos para mejorar esta estimación hasta que se alcance una solución aceptable. A continuación, se describen estos conceptos con más detalle y se proporcionan algunos ejemplos.

 

Iteración de sistemas de ecuaciones:

La iteración de sistemas de ecuaciones es el proceso de repetir un conjunto de cálculos iterativos para encontrar soluciones aproximadas de sistemas de ecuaciones no lineales. En general, un método iterativo comienza con una estimación inicial de la solución y utiliza esta estimación para generar una nueva estimación en cada iteración. El proceso se repite hasta que la estimación converge a una solución aceptable.

 

Convergencia de sistemas de ecuaciones:

La convergencia de sistemas de ecuaciones se refiere a cómo se alcanza una solución aceptable mediante métodos iterativos. Un método iterativo se considera convergente si la secuencia de estimaciones converge a una solución aceptable a medida que el número de iteraciones aumenta. En general, un método iterativo se considera convergente si se cumplen ciertas condiciones, como la existencia de una solución única y una buena elección de la estimación inicial.

 

Ejemplo:

Considere el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:

 

x^2 + y^2 = 5

x^2 - y^2 = 1

 

Para resolver este sistema de ecuaciones, podemos utilizar el método de iteración funcional. En este método, podemos transformar el sistema en un problema de punto fijo y utilizar una secuencia de cálculos iterativos para converger a la solución. Podemos reorganizar el sistema de la siguiente manera:

 

x = √(5 - y^2)

x = √(1 + y^2)

 

Luego, podemos definir una función de punto fijo:

 

g(y) = √(5 - y^2)

 

Podemos comenzar con una estimación inicial de la solución, por ejemplo, y0 = 1.5, y utilizar la función g(y) para generar una nueva estimación en cada iteración:

 

y1 = g(y0) = √(5 - 1.5^2) ≈ 1.8

y2 = g(y1) = √(5 - 1.8^2) ≈ 1.98

y3 = g(y2) = √(5 - 1.98^2) ≈ 2.06

y4 = g(y3) = √(5 - 2.06^2) ≈ 2.12

y5 = g(y4) = √(5 - 2.12^2) ≈ 2.14

 

Podemos continuar el proceso de iteración hasta que la estimación converja a una solución aceptable. En este caso, la solución aproximada es x ≈ 1.73 y y ≈ 1.23.