4.1 Diferenciacion numerica

 

La diferenciación numérica es una técnica utilizada en análisis numérico para aproximar la derivada de una función en un punto dado utilizando únicamente valores numéricos de la función en ese punto y en algunos puntos cercanos. Esta técnica es útil cuando no se dispone de una expresión analítica para la función, o cuando el cálculo analítico de la derivada es complicado o costoso.

 

Existen varios métodos comunes de diferenciación numérica, entre ellos:

 

1. Diferencias finitas hacia adelante: Este método utiliza una aproximación de la derivada utilizando los valores de la función en dos puntos cercanos. La aproximación se basa en la fórmula:

 

   f'(x) ≈ (f(x + h) - f(x)) / h

 

   donde f'(x) representa la aproximación de la derivada de la función en el punto x, f(x) es el valor de la función en x, h es un valor pequeño que determina la separación entre los puntos.

 

2. Diferencias finitas hacia atrás: Similar al método de diferencias finitas hacia adelante, pero utilizando los valores de la función en los puntos x y x - h:

 

   f'(x) ≈ (f(x) - f(x - h)) / h

 

3. Diferencias finitas centradas: Este método utiliza los valores de la función en los puntos x + h y x - h para aproximar la derivada. La fórmula es:

 

   f'(x) ≈ (f(x + h) - f(x - h)) / (2h)

 

   Este método es más preciso que los anteriores, ya que utiliza información de ambos lados del punto x.

 

Es importante tener en cuenta que la diferenciación numérica introduce errores debido a las aproximaciones realizadas. Estos errores pueden reducirse al utilizar valores de h más pequeños, pero esto puede aumentar el costo computacional. Además, la elección de h debe ser cuidadosa para evitar problemas de cancelación numérica y errores de redondeo.