2.3 Metodo de aproximaciones sucesivas

 

El método de aproximaciones sucesivas (también conocido como método de iteración) es una técnica utilizada para resolver ecuaciones no lineales de la forma x = g(x), donde g(x) es una función continua en un intervalo dado. El método se basa en la idea de que si se toma una aproximación inicial x_0, entonces se puede calcular una nueva aproximación x_1 = g(x_0), y repetir el proceso para obtener una sucesión de aproximaciones x_0, x_1, x_2, ..., que convergen a la solución de la ecuación.

 

El método de aproximaciones sucesivas se puede representar en forma de algoritmo:

 

1.       1. Elija una aproximación inicial x_0.

2.       2. Calcule una nueva aproximación x_1 = g(x_0) utilizando la función g(x).

3.      3.   Calcule una nueva aproximación x_2 = g(x_1).

4.    4.    Repita el proceso hasta que se alcance una precisión deseada, es decir, hasta que |x_n+1 - x_n| < ε para algún ε dado.

Es importante destacar que para que el método de aproximaciones sucesivas converja a una solución, la función g(x) debe ser una función continua y acotada en un intervalo dado que contenga la solución. Además, la función g(x) debe satisfacer la condición de convergencia, que establece que la sucesión x_0, x_1, x_2, ... debe converger a la solución de la ecuación.

 

El método de aproximaciones sucesivas es un método numérico sencillo y fácil de implementar, pero puede ser lento en comparación con otros métodos numéricos, especialmente si la función g(x) es muy complicada o si la solución de la ecuación es difícil de encontrar. Por lo tanto, se recomienda utilizar otros métodos numéricos más eficientes y precisos para resolver ecuaciones no lineales en la mayoría de los casos.

El método de aproximaciones sucesivas es un método numérico muy utilizado en la resolución de ecuaciones no lineales, ya que es fácil de entender y de aplicar en muchos casos. Sin embargo, el método tiene algunas limitaciones que se deben tener en cuenta al utilizarlo.

 

Una de las principales limitaciones del método de aproximaciones sucesivas es que no siempre converge a una solución. En algunos casos, la sucesión x_0, x_1, x_2, ... puede divergir o oscilar sin converger a una solución. Esto puede ocurrir si la función g(x) no satisface la condición de convergencia, si la aproximación inicial es muy alejada de la solución o si la función g(x) tiene singularidades o discontinuidades en el intervalo de interés.

 

Otra limitación del método de aproximaciones sucesivas es que puede converger muy lentamente a una solución, especialmente si la función g(x) tiene una tasa de convergencia lenta. En algunos casos, puede ser necesario aplicar técnicas de aceleración de convergencia, como el método de aceleración de Aitken, para mejorar la velocidad de convergencia.

 

A pesar de estas limitaciones, el método de aproximaciones sucesivas sigue siendo una técnica útil y ampliamente utilizada en la resolución de ecuaciones no lineales en muchas áreas de la ciencia, la ingeniería y las matemáticas. El método se puede extender para resolver sistemas de ecuaciones no lineales y para encontrar puntos fijos de funciones no lineales, lo que lo convierte en una herramienta muy versátil en la modelización matemática y la simulación de sistemas dinámicos.