2.2. Metodos de biseccion

 

El método de bisección

 es una técnica de solución de ecuaciones no lineales que se utiliza para encontrar la raíz de una función en un intervalo dado. El método también se conoce como el método de la "disección" o "intervalos" debido a que divide repetidamente el intervalo en dos partes iguales y determina en cuál de los dos subintervalos la función cambia de signo.

 

El método de bisección comienza con un intervalo inicial que contiene la raíz de la función. En cada iteración, el método divide el intervalo en dos partes iguales y evalúa la función en el punto medio. Si la función cambia de signo en el punto medio, entonces la raíz de la función está en ese subintervalo y se toma como el nuevo intervalo. Si la función no cambia de signo, entonces la raíz está en el otro subintervalo y se toma como el nuevo intervalo. Este proceso se repite hasta que se alcanza una precisión deseada.

 

El método de bisección es un método lento pero seguro para encontrar la raíz de una función. Es robusto y siempre converge a la raíz, pero puede requerir un gran número de iteraciones para alcanzar la precisión deseada. El método es adecuado para funciones continuas y suaves, pero puede no funcionar bien para funciones discontinuas o con singularidades.

El método de bisección es un método iterativo que se basa en la propiedad de los valores intermedios de una función continua. Es decir, si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], y si f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces existe al menos un punto c en el intervalo (a, b) donde f(c) = 0.

El método de bisección se puede representar en forma de algoritmo:

 

1.      1.  Elija un intervalo inicial [a, b] que contenga a la raíz de la función f(x).

2.     2.   Calcule el punto medio c = (a+b)/2 del intervalo [a, b].

3.     3.   Evalúe la función f(c) en el punto medio c.

4.       4. Si f(c) = 0, entonces la raíz ha sido encontrada y el algoritmo termina.

5.     5.   Si f(c) y f(a) tienen signos opuestos, entonces la raíz se encuentra en el intervalo [a, c]. Toma este intervalo como el nuevo intervalo [a, b] y repita el proceso desde el paso 2.

6.     6.   Si f(c) y f(b) tienen signos opuestos, entonces la raíz se encuentra en el intervalo [c, b]. Toma este intervalo como el nuevo intervalo [a, b] y repita el proceso desde el paso 2.

Repita los pasos 2 a 6 hasta que se alcance una precisión deseada.

Es importante destacar que el método de bisección garantiza la convergencia, es decir, que el algoritmo siempre converge a la raíz de la función. Sin embargo, el método puede ser muy lento en comparación con otros métodos numéricos, especialmente cuando el intervalo inicial es grande y/o la función cambia rápidamente de signo.

 

Por lo tanto, el método de bisección es útil cuando se necesita una solución robusta y confiable, pero no es recomendable para funciones con singularidades o discontinuidades. En general, se recomienda utilizar otros métodos numéricos más eficientes y precisos para resolver ecuaciones no lineales en la mayoría de los casos.